二階導(dǎo)數(shù)是一階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)。從原理上看，它表示一階導(dǎo)數(shù)的變化率；從圖形上看，它反映的是函數(shù)圖像的凹凸性。

定義

以導(dǎo)數(shù)定義法定義：如果函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在處可導(dǎo)，則稱的導(dǎo)數(shù)為函數(shù)在點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)，記為。

以極限定義法定義：函數(shù)在xo處的二階導(dǎo)數(shù)是導(dǎo)函數(shù)在xo處的導(dǎo)數(shù)，即

物理意義

以物理運(yùn)動(dòng)為例，我們知道，變速直線運(yùn)動(dòng)的速度是位置函數(shù)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，即

這種導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)或稱為對(duì)的二階導(dǎo)數(shù)，記作

所以，直線運(yùn)動(dòng)的加速度就是位置函數(shù)對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。

幾何意義

切線斜率變化率

據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，二階導(dǎo)數(shù)按極限形式

可直接理解為曲線的切線斜率的變化率，也就是切線斜率的平均變化率。

凹率

凹率可以認(rèn)為是二階導(dǎo)數(shù)的幾何本質(zhì)。

據(jù)曲線的凹凸性，時(shí)，曲線在a點(diǎn)上凹；時(shí)，曲線在a點(diǎn)下凹。

如果規(guī)定曲線在a點(diǎn)上凹為正，下凹為負(fù)（以下均如此設(shè)定），則凹向的正負(fù)就與的正負(fù)一致，的正負(fù)就表示曲線在a點(diǎn)上凹的正負(fù)。

拋物線的凹率與焦準(zhǔn)距

對(duì)于拋物線

其導(dǎo)函數(shù)為：

則二階導(dǎo)數(shù)為，稱2a為整個(gè)拋物線的凹率。

拋物線經(jīng)平移可得原點(diǎn)為頂點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)拋物線，參數(shù)a不變，標(biāo)準(zhǔn)拋物線方程，其中p為焦準(zhǔn)距，定義焦準(zhǔn)距為焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的縱坐標(biāo)差，則拋物線的焦準(zhǔn)距。

例題

設(shè)，求和。

解：用導(dǎo)數(shù)定義求解：