對數(shù)的定義：一般地，如果ax=N（a>0，且a≠1），那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x=logaN，讀作以a為底N的對數(shù)，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)。一般地，函數(shù)y=logax（a>0，且a≠1）叫做對數(shù)函數(shù)，也就是說以冪為自變量，指數(shù)為因變量，底數(shù)為常量的函數(shù)，叫對數(shù)函數(shù)。其中x是自變量，函數(shù)的定義域是（0，+∞）。它實際上就是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，可表示為x=ay。因此指數(shù)函數(shù)里對于a的規(guī)定，同樣適用于對數(shù)函數(shù)。

簡介

函數(shù)y=a^x - a>0,a≠1的反函數(shù)y=loga - x - a>0,a≠1叫做對數(shù)函數(shù)．

（1）對數(shù)函數(shù)的定義域為大于0的實數(shù)集合。

（2）對數(shù)函數(shù)的值域為全部實數(shù)集合。

（3）函數(shù)總是通過（1，0）這點。

（4）a大于1時，為單調(diào)遞增函數(shù)，并且上凸；a小于1大于0時，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，并且下凹。

（5）顯然對數(shù)函數(shù)無界。

歷史

16世紀末至17世紀初的時候，當時在自然科學(xué)領(lǐng)域（特別是天文學(xué)）的發(fā)展上經(jīng)常遇到大量精密而又龐大的數(shù)值計算，於是數(shù)學(xué)家們?yōu)榱藢で蠡喌挠嬎惴椒ǘl(fā)明了對數(shù)。

德國的史提非（1487-1567）在1544年所著的《整數(shù)算術(shù)》中，寫出了兩個數(shù)列，左邊是等比數(shù)列（叫原數(shù)），右邊是一個等差數(shù)列（叫原數(shù)的代表，或稱指數(shù)，德文是Exponent，有代表之意）。

欲求左邊任兩數(shù)的積（商），只要先求出其代表（指數(shù)）的和（差），然后再把這個和（差）對向左邊的一個原數(shù)，則此原數(shù)即為所求之積（商），可惜史提非并未作進一步探索，沒有引入對數(shù)的概念。

納皮爾對數(shù)值計算頗有研究。他所制造的「納皮爾算籌」，化簡了乘除法運算，其原理就是用加減來代替乘除法。他發(fā)明對數(shù)的動機是為尋求球面三角計算的簡便方法，他依據(jù)一種非常獨等的與質(zhì)點運動有關(guān)的設(shè)想構(gòu)造出所謂對數(shù)方法，其核心思想表現(xiàn)為算術(shù)數(shù)列與幾何數(shù)列之間的聯(lián)系。在他的《奇妙的對數(shù)表的描述》中闡明了對數(shù)原理，后人稱為納皮爾對數(shù)，記為Nap．㏒x，它與自然對數(shù)的關(guān)系為

Nap．㏒x=107㏑ - 107/x

由此可知，納皮爾對數(shù)既不是自然對數(shù)，也不是常用對數(shù)，與現(xiàn)今的對數(shù)有一定的距離。

瑞士的彪奇（1552-1632）也獨立地發(fā)現(xiàn)了對數(shù)，可能比納皮爾較早，但發(fā)表較遲（1620）。

英國的布里格斯在1624年創(chuàng)造了常用對數(shù)。

1619年，倫敦斯彼得所著的《新對數(shù)》使對數(shù)與自然對數(shù)更接近（以e=2.71828…為底）。

對數(shù)的發(fā)明為當時社會的發(fā)展起了重要的影響，正如科學(xué)家伽利略（1564-1642）說：「給我時間，空間和對數(shù)，我可以創(chuàng)造出一個宇宙」。又如十八世紀數(shù)學(xué)家拉普拉斯（1749-1827）亦提到：「對數(shù)用縮短計算的時間來使天文學(xué)家的壽命加倍」。

最早傳入我國的對數(shù)著作是《比例與對數(shù)》，它是由波蘭的穆尼斯（1611-1656）和我國的薛鳳祚在17世紀中葉合編而成的。當時在lg2=0.3010中，2叫「真數(shù)」，0.3010叫做「假數(shù)」，真數(shù)與假數(shù)對列成表，故稱對數(shù)表。后來改用「假數(shù)」為「對數(shù)」。

我國清代的數(shù)學(xué)家戴煦（1805-1860）發(fā)展了多種的求對數(shù)的捷法，著有《對數(shù)簡法》（1845）、《續(xù)對數(shù)簡法》（1846）等。1854年，英國的數(shù)學(xué)家艾約瑟（1825-1905）看到這些著作后，大為嘆服。

當今中學(xué)數(shù)學(xué)教科書是先講「指數(shù)」，后以反函數(shù)形式引出「對數(shù)」的概念。但在歷史上，恰恰相反，對數(shù)概念不是來自指數(shù)，因為當時尚無分指數(shù)及無理指數(shù)的明確概念。布里格斯曾向納皮爾提出用冪指數(shù)表示對數(shù)的建議。1742年，J．威廉（1675-1749）在給G．威廉的《對數(shù)表》所寫的前言中作出指數(shù)可定義對數(shù)。而歐拉在他的名著《無窮小分析尋論》（1748）中明確提出對數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的逆函數(shù)，和現(xiàn)在教科書中的提法一致。

概念與知識點

定義

在實數(shù)域中，真數(shù)式子沒根號那就只要求真數(shù)式大于零，如果有根號，要求真數(shù)大于零還要保證根號里的式子大于等于零 - 若為負數(shù)，則值為虛數(shù)，底數(shù)則要大于0且不為1。

對數(shù)函數(shù)的底數(shù)為什么要大于0且不為1?【在一個普通對數(shù)式里a<0,或=1的時候是會有相應(yīng)b的值。但是，根據(jù)對數(shù)定義log以a為底a的對數(shù);如果a=1或=0那么log以a為底a的對數(shù)就可以等于一切實數(shù) - 比如log11也可以等于2，3，4，5，等等】

通常我們將以10為底的對數(shù)叫常用對數(shù) - common?logarithm,并把log10N記為lgN。另外，在科學(xué)技術(shù)中常使用以無理數(shù)e=2.71828···為底數(shù)的對數(shù)，以e為底的對數(shù)稱為自然對數(shù) - natural?logarithm，并且把logeN記為InN。根據(jù)對數(shù)的定義，可以得到對數(shù)與指數(shù)間的關(guān)系：

當a>0，a≠1時，aX=N→X=logaN。 - N>0

由指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的這個關(guān)系，可以得到關(guān)于對數(shù)的如下結(jié)論：

在實數(shù)范圍內(nèi)，負數(shù)和零沒有對數(shù)

logaa=1

log以a為底a的對數(shù)為1 - a為常數(shù)恒過點 - 1，0

性質(zhì)

定義域求解：對數(shù)函數(shù)y=logax的定義域是{x丨x>0}，但如果遇到對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域的求解，除了要注意大于0以外，還應(yīng)注意底數(shù)大于0且不等于1，如求函數(shù)y=logx - 2x-1的定義域，需同時滿足x>0且x≠1

和2x-1>0，得到x>1/2且x≠1，即其定義域為{x丨x>1/2且x≠1}

值域：實數(shù)集R，顯然對數(shù)函數(shù)無界。

定點：函數(shù)圖像恒過定點 - 1，0。

單調(diào)性：a>1時，在定義域上為單調(diào)增函數(shù);

0<a<1時，在定義域上為單調(diào)減函數(shù)。

奇偶性：非奇非偶函數(shù)

周期性：不是周期函數(shù)

對稱性：無

最值：無

零點：x=1

注意：負數(shù)和0沒有對數(shù)。

兩句經(jīng)典話：底真同對數(shù)正,底真異對數(shù)負。解釋如下：

也就是說：若y=logab - 其中a>0,a≠1，b>0

當<a<1,0<b<1時，y=logab>0;

當a>1,b>1時，y=logab>0;

當0<a<1,b>1時，y=logab<0;

當a>1,0<b<1時，y=logab<0。

指數(shù)函數(shù)的求導(dǎo):

e的定義：e=lim - x→∞ - 1+1/xx=2.718281828…

設(shè)a>0a!=1—- - loga - x'

=lim - Δx→0 - - loga - x+Δx-loga - x/Δx

=lim - Δx→0 - 1/x*x/Δx*loga - - x+Δx/x

=lim - Δx→0 - 1/x*loga - - 1+Δx/xx/Δx

=1/x*lim - Δx→0 - loga - - 1+Δx/xx/Δx

=1/x*loga - lim - Δx→0 - 1+Δx/xx/Δx

=1/x*loga - e

特殊地，當a=e時， - loga - x'= - lnx'=1/x。

—-設(shè)y=ax兩邊取對數(shù)lny=xlna兩邊對求x導(dǎo)y'/y=lnay'=ylna=a^xlna

特殊地，當a=e時，y'= - ax'= - ex'=e^lnex=ex。

運算性質(zhì)

一般地，如果a - a>0，且a≠1的b次冪等于N，那么數(shù)b叫做以a為底N的對數(shù)，記作logaN=b，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)。

底數(shù)則要>0且≠1真數(shù)>0

并且，在比較兩個函數(shù)值時：

如果底數(shù)一樣，真數(shù)越大，函數(shù)值越大。 - a>1時

如果底數(shù)一樣，真數(shù)越小，函數(shù)值越大。 - 0<a<1時）

當a>0且a≠1時，M>0,N>0，那么：

- 1loga - MN=logaM+logaN;

- 2loga - M/N=logaM-logaN;

- 3logaMn=nlogaM - n∈R

- 4換底公式：log - AM=log - bM/log - bA - b>0且b≠1

- 5a - log - bn=n - log - ba證明：

設(shè)a=nx則alog - bn= - nxlog - bn=n - x*log - bn=nlog - b - n^x=n - log - ba

- 6對數(shù)恒等式：alog - aN=N;log - aab=b

- 7由冪的對數(shù)的運算性質(zhì)可得 - 推導(dǎo)公式

1.log - aM^ - 1= - 1log - aM,log - aM^ - -1= - -1log - aM

2.log - aM^ - m= - mlog - aM,log - aM^ - -m= - -mlog - aM

3.log - a^nM^n=log - aM,log - a^nM^m= - mlog - aM

4.log - 以n次根號下的a為底 - 以n次根號下的M為真數(shù)=log - aM,

log - 以n次根號下的a為底 - 以m次根號下的M為真數(shù)= - n/mlog - aM

5.log - ab×log - bc×log - ca=1

表達方式

- 1常用對數(shù)：lg - b=log10b - 10為底數(shù)

- 2自然對數(shù):ln - b=logeb - e為底數(shù)

e為無限不循環(huán)小數(shù)，通常情況下只取e=2.71828對數(shù)函數(shù)的定義

與指數(shù)的關(guān)系

同底的對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)。

當a>0且a≠1時，ax=N，x=㏒ - aN。

關(guān)于y=x對稱。

對數(shù)函數(shù)的一般形式為y=㏒ - ax，它實際上就是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù) - 圖象關(guān)于直線y=x對稱的兩函數(shù)互為反函數(shù)），可表示為x=ay。因此指數(shù)函數(shù)里對于a的規(guī)定（a>0且a≠1），右圖給出對于不同大小a所表示的函數(shù)圖形：關(guān)于X軸對稱、

可以看到，對數(shù)函數(shù)的圖形只不過是指數(shù)函數(shù)的圖形的關(guān)于直線y=x的對稱圖形，因為它們互為反函數(shù)。