數(shù)學(xué)模型（Mathematical Model），是根據(jù)對研究對象所觀察到的現(xiàn)象及實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，歸結(jié)成的一套反映其內(nèi)部因素?cái)?shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)公式、邏輯準(zhǔn)則和具體算法。用以描述和研究客觀現(xiàn)象的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。隨著人類使用數(shù)字，就不斷地建立各種數(shù)學(xué)模型，以解決各種各樣的實(shí)際問題。對于廣大的科學(xué)技術(shù)工作者對大學(xué)生的綜合素質(zhì)測評,對教師的工作業(yè)績的評定以及諸如訪友，采購等日?；顒?dòng)，都可以建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，確立一個(gè)最佳方案。建立數(shù)學(xué)模型是溝通擺在面前的實(shí)際問題與數(shù)學(xué)工具之間聯(lián)系的一座必不可少的橋梁。

簡介

數(shù)學(xué)模型是針對參照某種事物系統(tǒng)的特征或數(shù)量依存關(guān)系，采用數(shù)學(xué)語言，概括地或近似地表述出的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，這種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是借助于數(shù)學(xué)符號刻畫出來的某種系統(tǒng)的純關(guān)系結(jié)構(gòu)。從廣義理解，數(shù)學(xué)模型包括數(shù)學(xué)中的各種概念，各種公式和各種理論。因?yàn)樗鼈兌际怯涩F(xiàn)實(shí)世界的原型抽象出來的，從這意義上講，整個(gè)數(shù)學(xué)也可以說是一門關(guān)于數(shù)學(xué)模型的科學(xué)。從狹義理解，數(shù)學(xué)模型只指那些反映了特定問題或特定的具體事物系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)，這個(gè)意義上也可理解為聯(lián)系一個(gè)系統(tǒng)中各變量間內(nèi)的關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)。

分類

按模型的應(yīng)用領(lǐng)域分類

生物數(shù)學(xué)模型

醫(yī)學(xué)數(shù)學(xué)模型

地質(zhì)數(shù)學(xué)模型

數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型

數(shù)學(xué)社會(huì)學(xué)模型

按是否考慮隨機(jī)因素分類

確定性模型

隨機(jī)性模型

按是否考慮模型的變化分類

靜態(tài)模型

動(dòng)態(tài)模型

按應(yīng)用離散方法或連續(xù)方法分類

離散模型

連續(xù)模型

按建立模型的數(shù)學(xué)方法分類

幾何模型

微分方程模型

圖論模型

規(guī)劃論模型

馬氏鏈模型

按人們對事物發(fā)展過程的了解程度分類

白箱模型：指那些內(nèi)部規(guī)律比較清楚的模型。如力學(xué)、熱學(xué)、電學(xué)以及相關(guān)的工程技術(shù)問題。

灰箱模型：指那些內(nèi)部規(guī)律尚不十分清楚，在建立和改善模型方面都還不同程度地有許多工作要做的問題。如氣象學(xué)、生態(tài)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域的模型。

黑箱模型：指一些其內(nèi)部規(guī)律還很少為人們所知的現(xiàn)象。如生命科學(xué)、社會(huì)科學(xué)等方面的問題。但由于因素眾多、關(guān)系復(fù)雜，也可簡化為灰箱模型來研究。

基本原則

簡化原則

現(xiàn)實(shí)世界的原型都是具有多因素、多變量、多層次的比較復(fù)雜的系統(tǒng)，對原型進(jìn)行一定的簡化即抓住主要矛盾，數(shù)學(xué)模型應(yīng)比原型簡化，數(shù)學(xué)模型自身也應(yīng)是“最簡單”的。

可推導(dǎo)原則

由數(shù)學(xué)模型的研究可以推導(dǎo)出一些確定的結(jié)果，如果建立的數(shù)學(xué)模型在數(shù)學(xué)上是不可推導(dǎo)的，得不到確定的可以應(yīng)用于原型的結(jié)果，這個(gè)數(shù)學(xué)模型就是無意義的。

反映性原則

數(shù)學(xué)模型實(shí)際上是人對現(xiàn)實(shí)世界的一種反映形式，因此數(shù)學(xué)模型和現(xiàn)實(shí)世界的原型就應(yīng)有一定的“相似性”，抓住與原型相似的數(shù)學(xué)表達(dá)式或數(shù)學(xué)理論就是建立數(shù)學(xué)模型的關(guān)鍵性技巧。

建立的要求

1

、真實(shí)完整。

1）真實(shí)的、系統(tǒng)的、完整的反映客觀現(xiàn)象；

2）必須具有代表性；

3）具有外推性，即能得到原型客體的信息，在模型的研究實(shí)驗(yàn)時(shí)，能得到關(guān)于原型客體的原因；

4）必須反映完成基本任務(wù)所達(dá)到的各種業(yè)績，而且要與實(shí)際情況相符合。

2、簡明實(shí)用。在建模過程中，要把本質(zhì)的東西及其關(guān)系反映進(jìn)去，把非本質(zhì)的、對反映客觀真實(shí)程度影響不大的東西去掉，使模型在保證一定精確度的條件下，盡可能的簡單和可操作，數(shù)據(jù)易于采集。

3、適應(yīng)變化。隨著有關(guān)條件的變化和人們認(rèn)識的發(fā)展，通過相關(guān)變量及參數(shù)的調(diào)整，能很好的適應(yīng)新情況。

構(gòu)建的方法和步驟

模型準(zhǔn)備

首先要了解問題的實(shí)際背景，明確建模目的，搜集必需的各種信息，盡量弄清對象的特征。

模型假設(shè)

根據(jù)對象的特征和建模目的，對問題進(jìn)行必要的、合理的簡化，用精確的語言作出假設(shè)，是建模至關(guān)重要的一步。如果對問題的所有因素一概考慮，無疑是一種有勇氣但方法欠佳的行為，所以高超的建模者能充分發(fā)揮想象力、洞察力和判斷力，善于辨別主次，而且為了使處理方法簡單，應(yīng)盡量使問題線性化、均勻化。

模型構(gòu)成

根據(jù)所作的假設(shè)分析對象的因果關(guān)系，利用對象的內(nèi)在規(guī)律和適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，構(gòu)造各個(gè)量間的等式關(guān)系或其它數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

模型求解

可以采用解方程、畫圖形、證明定理、邏輯運(yùn)算、數(shù)值運(yùn)算等各種傳統(tǒng)的和近代的數(shù)學(xué)方法，特別是計(jì)算機(jī)技術(shù)。一道實(shí)際問題的解決往往需要紛繁的計(jì)算，許多時(shí)候還得將系統(tǒng)運(yùn)行情況用計(jì)算機(jī)模擬出來，因此編程和熟悉數(shù)學(xué)軟件包能力便舉足輕重。

模型分析

對模型解答進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析。“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”。能否對模型結(jié)果作出細(xì)致精當(dāng)?shù)姆治?，決定了模型能否達(dá)到更高的檔次。還要記住，不論那種情況都需進(jìn)行誤差分析，數(shù)據(jù)穩(wěn)定性分析。

模型優(yōu)化

對一個(gè)問題的假設(shè)和數(shù)學(xué)模型不斷加以修改，進(jìn)行最優(yōu)化處理。因?yàn)閷σ粋€(gè)問題或一類問題也可能有幾個(gè)模型，以對它們要進(jìn)行比較，直到找到最優(yōu)模型。

相關(guān)研究

花椰菜類幾何圖案數(shù)學(xué)模型出爐

2012年12月，一個(gè)由西班牙卡米亞斯大主教大學(xué)（UPCO）、馬德里卡洛斯三世大學(xué)（UC3M）的科學(xué)家組成的研究小組，首次開發(fā)出一種表現(xiàn)普適機(jī)制的數(shù)學(xué)模型，能描述某些復(fù)雜自然花紋形成的規(guī)則，比如花椰菜

的表面圖案。相關(guān)論文發(fā)表在最近出版的《新物理學(xué)》雜志上。

該成果有助于改良薄膜涂層技術(shù)，掌握它們在什么情況下會(huì)表現(xiàn)出光滑、起皺或粗糙的形狀。這對計(jì)算機(jī)模擬生成材質(zhì)紋理也非常有用。而且從概念上，這給他們提供了有關(guān)普適機(jī)制的線索，指導(dǎo)他們?nèi)ッ枋鲆粋€(gè)整體中不同部分的結(jié)構(gòu)是如何形成的，比如在有資源競爭的條件下，一個(gè)系統(tǒng)的不同部分之間會(huì)形成怎樣的結(jié)構(gòu)。

科學(xué)家建立統(tǒng)計(jì)模型解答鳥類如何咿呀學(xué)語

埃默里大學(xué)生物學(xué)家塞繆爾-蘇伯與加利福尼亞大學(xué)的生理學(xué)家邁克爾-布雷納德通過研究鳴禽如何保持正確鳴叫，已經(jīng)找到了一種統(tǒng)計(jì)學(xué)解釋，來解答為什么對于大腦學(xué)習(xí)來說有的東西比其它的東西更加困難。

塞繆爾-蘇伯說道：“我們已經(jīng)建造了第一個(gè)數(shù)學(xué)模型，使用鳥類先前具備的感覺運(yùn)動(dòng)經(jīng)驗(yàn)來預(yù)測它的學(xué)習(xí)能力。我們希望它能幫助我們理解其它物種以及人類的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)?！?/p>

他們的研究結(jié)果表明成年鳥類能夠更加快速和堅(jiān)定的改正鳴叫中的小錯(cuò)誤，這些發(fā)現(xiàn)被發(fā)表在《國家科學(xué)院院刊》上。

科學(xué)家建成首個(gè)模擬腫瘤生長3D計(jì)算機(jī)模型

哈佛大學(xué)、愛丁堡大學(xué)和約翰?霍普金斯大學(xué)的科學(xué)家們合作完成了首個(gè)實(shí)體瘤3D計(jì)算機(jī)模型。該模型不僅刻畫了一種致命腫瘤的形狀，還展現(xiàn)了它的生長、突變以及演變的過程?？茖W(xué)家稱，該模型將幫助他們理解腫瘤是如何產(chǎn)生抗藥性的。英科學(xué)家通過實(shí)驗(yàn)證明遺忘記憶可以被找回

教學(xué)大綱

總學(xué)時(shí)：32學(xué)時(shí)

適用專業(yè)：本科理工類、經(jīng)濟(jì)類各專業(yè)

選用教材：姜啟源?編《數(shù)學(xué)模型》（第二版）高教出版社出版

基本內(nèi)容和要求

- 一?數(shù)學(xué)建模的步驟、原理和方法：

1、?了解數(shù)學(xué)建模的意義；

2、?了解建立數(shù)學(xué)模型的基本知識、相關(guān)的基本概念；

3、?掌握數(shù)學(xué)建模過程的幾個(gè)明顯的處理階段和流程；

4、?通過實(shí)例了解數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)和學(xué)習(xí)方法；

5、?了解全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽。

- 二?掌握數(shù)學(xué)建模思想方法：

1、數(shù)學(xué)建模概述

2、對現(xiàn)實(shí)問題的分析、提練、描述

3、幾種創(chuàng)造性思維方法

4、合理假設(shè)與信息處理

5、建立數(shù)學(xué)模型

6、數(shù)學(xué)軟件與模型求解

7、結(jié)果分析與靈敏度分析

8、模型的評價(jià)與推廣

9、論文摘要

- 三?數(shù)學(xué)方法分類建模

1、?初等數(shù)學(xué)方法建模；

2、?線性規(guī)劃法建模；

3、?非線性規(guī)劃法建模

4、?微分方程建模；

5、?層次分析法適用的建模問題和處理方法；

6、?圖論方法建模；

7、?概率分布方法建模。

- 四?掌握一些特殊模型：

1、?運(yùn)輸問題模型；

2、?經(jīng)濟(jì)決策模型；

3、?綜合評判模型；

4、?捕魚業(yè)的持續(xù)收入；

5、?幾種圖論模型；

6、?效益的合理分配；

- 五?數(shù)學(xué)建模論文的寫作：

1、?知道數(shù)學(xué)建模競賽的規(guī)則及論文的評閱辦法；

2、?掌握數(shù)學(xué)建模論文的幾個(gè)基本模塊的數(shù)學(xué)方法。

說明

- 一?本大綱根據(jù)我校的實(shí)際情況制定。

- 二?課程類型：全校選修課。

- 三?總則：本課程系統(tǒng)地介紹數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)建模和建模過程中的一些常用方法及數(shù)學(xué)建模實(shí)例，通過課堂教學(xué)和討論，使學(xué)生了解數(shù)學(xué)建模的特性及建模的基本方法，并初步具備對實(shí)際問題如何建模的能力以及培養(yǎng)良好的思考習(xí)慣和歸納分析能力，使學(xué)生在應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力有所提高。學(xué)習(xí)本課程的大部分內(nèi)容只需要大學(xué)的微積分、線性代數(shù)、概率論等基本數(shù)學(xué)知識。

- 四?教學(xué)目的及要求：逐步培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際問題的能力。能夠?qū)?shí)際問題“翻譯”為數(shù)學(xué)語言，并予以求解，然后再解釋實(shí)際現(xiàn)象，甚至應(yīng)用于實(shí)際。最終提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力。

- 五?教學(xué)重點(diǎn)：對實(shí)際問題的分析；模型的合理假設(shè)；數(shù)學(xué)工具的恰當(dāng)應(yīng)用；模型的建立；模型的求解；模型結(jié)果的合理解釋；模型的應(yīng)用；

- 六?教學(xué)難點(diǎn)：對實(shí)際問題的分析；模型的合理假設(shè)；數(shù)學(xué)工具的恰當(dāng)應(yīng)用；模型結(jié)果的合理解釋與模型的應(yīng)用；

- 七?主要教學(xué)環(huán)節(jié)的組織：循序漸進(jìn)的介入數(shù)學(xué)建模的思想，由簡入難的介紹各類數(shù)學(xué)模型；強(qiáng)化數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)等其他工具的結(jié)合；對于一些重點(diǎn)教學(xué)環(huán)節(jié)，在突出對數(shù)學(xué)方法的同時(shí)，要重點(diǎn)講述數(shù)學(xué)方法與實(shí)際問題的一些必然的關(guān)聯(lián)性，使學(xué)生更具體的認(rèn)識數(shù)學(xué)。對某些章節(jié)用到的不常用數(shù)學(xué)方法，予以簡單而有目的的介紹。

- 八?大綱中教學(xué)基本要求從高到底分為理論部分：深入理解、一般理解、了解；運(yùn)算部分：熟練掌握、一般掌握、知道。