一般地，用純粹的大于號(hào)“>”、小于號(hào)“<”連接的不等式稱為嚴(yán)格不等式，用不小于號(hào) - 大于或等于號(hào)“≥”、不大于號(hào) - 小于或等于號(hào)“≤”連接的不等式稱為非嚴(yán)格不等式，或稱廣義不等式。

定義

一般地，用純粹的大于號(hào)“>”、小于號(hào)“<”連接的不等式稱為嚴(yán)格不等式，用不小于號(hào)（大于或等于號(hào)）“≥”、不大于號(hào)（小于或等于號(hào)）“≤”連接的不等式稱為非嚴(yán)格不等式，或稱廣義不等式?？偟膩?lái)說(shuō)，用不等號(hào) - <,>,≥,≤,≠連接的式子叫做不等式。

其中，兩邊的解析式的公共定義域稱為不等式的定義域。

整式不等式：

整式不等式兩邊都是整式（即未知數(shù)不在分母上）。

一元一次不等式：含有一個(gè)未知數(shù) - 即一元,并且未知數(shù)的次數(shù)是1次 - 即一次的不等式。如3-X>0

同理：二元一次不等式：含有兩個(gè)未知數(shù) - 即二元,并且未知數(shù)的次數(shù)是1次 - 即一次的不等式。

基本性質(zhì)

①如果x>y，那么yy；（對(duì)稱性）

②如果x>y，y>z；那么x>z；（傳遞性）

③如果x>y，而z為任意實(shí)數(shù)或整式，那么x+z>y+z；（加法原則，或叫同向不等式可加性）

④如果x>y，z>0，那么xz>yz；如果x>y，z<0，那么xz

⑤如果x>y，m>n，那么x+m>y+n； - 充分不必要條件

⑥如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn；

⑦如果x>y>0，那么x的n次冪>y的n次冪（n為正數(shù)，x的n次冪

或者說(shuō)，不等式的基本性質(zhì)的另一種表達(dá)方式有：

①對(duì)稱性；

②傳遞性；

③加法單調(diào)性，即同向不等式可加性；

④乘法單調(diào)性；

⑤同向正值不等式可乘性；

⑥正值不等式可乘方；

⑦正值不等式可開方；

⑧倒數(shù)法則。

如果由不等式的基本性質(zhì)出發(fā)，通過(guò)邏輯推理，可以論證大量的初等不等式。

另，不等式的特殊性質(zhì)有以下三種：

①不等式性質(zhì)1：不等式的兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變；

②不等式性質(zhì)2：不等式的兩邊同時(shí)乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；

③不等式性質(zhì)3：不等式的兩邊同時(shí)乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向變?？偨Y(jié)：當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定值時(shí)，它們的和有最小值；當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定值時(shí)，它們的積有最大值。

常用定理

①不等式F（x）F（x）同解。

②如果不等式F（x）

③如果不等式F（x）0，那么不等式F - xH（x）G（x）同解。

④不等式F（x）G（x）>0與不等式同解；不等式F（x）G（x）<0與不等式同解。

定理口訣

解不等式的途徑，利用函數(shù)的性質(zhì)。對(duì)指無(wú)理不等式，化為有理不等式。

高次向著低次代，步步轉(zhuǎn)化要等價(jià)。數(shù)形之間互轉(zhuǎn)化，幫助解答作用大。

證不等式的方法，實(shí)數(shù)性質(zhì)威力大。求差與0比大小，作商和1爭(zhēng)高下。

直接困難分析好，思路清晰綜合法。非負(fù)常用基本式，正面難則反證法。

還有重要不等式，以及數(shù)學(xué)歸納法。圖形函數(shù)來(lái)幫助，畫圖、建模、構(gòu)造法。

注意事項(xiàng)

符號(hào)

不等式兩邊相加或相減同一個(gè)數(shù)或式子，不等號(hào)的方向不變。（移項(xiàng)要變號(hào)）

不等式兩邊相乘或相除同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變。（相當(dāng)系數(shù)化1，這是得正數(shù)才能使用）

不等式兩邊乘或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變。（÷或×1個(gè)負(fù)數(shù)的時(shí)候要變號(hào)）

解集

確定解集：

①比兩個(gè)值都大，就比大的還大 - 同大取大）；

②比兩個(gè)值都小，就比小的還小 - 同小取?。?；

③比大的大，比小的小，無(wú)解（大大小小取不了）；

④比小的大，比大的小，有解在中間（小大大小取中間）。

三個(gè)或三個(gè)以上不等式組成的不等式組，可以類推。

數(shù)軸法

可以在數(shù)軸上確定解集：

把每個(gè)不等式的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)，數(shù)軸上的點(diǎn)把數(shù)軸分成若干段，如果數(shù)軸的某一段上面表示解集的線的條數(shù)與不等式的個(gè)數(shù)一樣，那么這段就是不等式組的解集。有幾個(gè)就要幾個(gè)。

在確定一元二次不等式時(shí)，a>0，Δ=b^2-4ac>0時(shí)，不等式解集可用"大于取兩邊，小于取中間"求出。

證明方法

比較法

①作差比較法：根據(jù)a-b>0?a>b，欲證a>b，只需證a-b>0；

②作商比較法：根據(jù)a/b=1，

當(dāng)b>0時(shí)，得a>b，

當(dāng)b>0時(shí)，欲證a>b，只需證a/b>1，

當(dāng)b<0時(shí)，得a

綜合法

由因?qū)Ч?。證明不等式時(shí)，從已知的不等式及題設(shè)條件出發(fā)，運(yùn)用不等式性質(zhì)及適當(dāng)變形推導(dǎo)出要證明的不等式，合法又叫順推證法或因?qū)Чā?/p>

分析法

執(zhí)果索因。證明不等式時(shí)，從待證命題出發(fā)，尋找使其成立的充分條件.由于”分析法“證題書寫不是太方便，所以有時(shí)我們可以利用分析法尋找證題的途徑，然后用”綜合法“進(jìn)行表述。

放縮法

將不等式一側(cè)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小以達(dá)到證題目的，已知A

數(shù)學(xué)歸納法

證明與自然數(shù)n有關(guān)的不等式時(shí)，可用數(shù)學(xué)歸納法證之。

用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，要注意兩步一結(jié)論。

在證明第二步時(shí)，一般多用到比較法、放縮法和分析法。

反證法

證明不等式時(shí)，首先假設(shè)要證明的命題的反面成立，把它作為條件和其他條件結(jié)合在一起，利用已知定義、定理、公理等基本原理逐步推證出一個(gè)與命題的條件或已證明的定理或公認(rèn)的簡(jiǎn)單事實(shí)相矛盾的結(jié)論，以此說(shuō)明原假設(shè)的結(jié)論不成立，從而肯定原命題的結(jié)論成立的方法稱為反證法。

換元法

換元的目的就是減少不等式中變量的個(gè)數(shù)，以使問(wèn)題化難為易，化繁為簡(jiǎn)，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元。

構(gòu)造法

通過(guò)構(gòu)造函數(shù)、圖形、方程、數(shù)列、向量等來(lái)證明不等式。

重要不等式

柯西不等式

柯西不等式的幾種變形形式

1.設(shè)xi∈R,yi>0 - i=1,2,…,n則，當(dāng)且僅當(dāng)bi=l*ai - i=1,2,3,…,n時(shí)取等號(hào)。

2.設(shè)ai，bi同號(hào)且不為零 - i=1,2,…,n，則，當(dāng)且僅當(dāng)b1=b2=…=bn時(shí)取等。

證法

柯西不等式的一般證法有以下幾種：

①Cauchy不等式的形式化寫法就是：記兩列數(shù)分別是ai,bi，則有 - ∑ai^2* - ∑bi^2≥ - ∑ai*bi^2.我們令f - x=∑ - ai+x*bi^2= - ∑bi^2*x^2+2* - ∑ai*bi*x+ - ∑ai^2則我們知道恒有f - x≥0.用二次函數(shù)無(wú)實(shí)根或只有一個(gè)實(shí)根的條件，就有Δ=4* - ∑ai*bi^2-4* - ∑ai^2* - ∑bi^2≤0.于是移項(xiàng)得到結(jié)論。

②用向量來(lái)證。m= - a1,a2……ann= - b1,b2……bnmn=a1b1+a2b2+……+anbn= - a1^+a2^+……+an^^1/2乘以 - b1^+b2^+……+bn^^1/2乘以cosX．因?yàn)閏osX小于等于1，所以：a1b1+a2b2+……+anbn小于等于a1^+a2^+……+an^^1/2乘以 - b1^+b2^+……+bn^^1/2，這就證明了不等式．柯西不等式的證明方法還有很多種，這里只取兩種較常用的證法。

柯西不等式的應(yīng)用

柯西不等式在求某些函數(shù)最值中和證明某些不等式時(shí)是經(jīng)常使用的理論根據(jù)，我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)給予極大的重視。

例（巧拆常數(shù)）：設(shè)a、b、c為正數(shù)且各不相等。求證：2/ - a+b+2/ - b+c+2/ - c+a>9/ - a+b+c

分析：∵a、b、c均為正數(shù)∴為證結(jié)論正確只需證：2 - a+b+c[1/ - a+b+1/ - b+c+1/ - c+a]>9而2 - a+b+c= - a+b+ - a+c+ - c+b又9= - 1+1+1 - 1+1+1

證明：2 - a+b+c[1/ - a+b+1/ - b+c+1/ - c+a]=[ - a+b+ - a+c+ - b+c][1/ - a+b+1/ - b+c+1/ - c+a]≥ - 1+1+1 - 1+1+1=9又a、b、c各不相等，故等號(hào)不能成立∴原不等式成立。

排序不等式

排序不等式又稱排序原理。

對(duì)于兩組有序的實(shí)數(shù)x1≤x2≤…≤xn，y1≤y2≤…≤yn，設(shè)yi1，yi2，…，yin是后一組的任意一個(gè)排列，記S=x1yn+x2yn-1+…+xny1，M=x1yi1+x2yi2+…+xnyin，L=x1y1+x2y2+…+xnyn，那么恒有S≤M≤L。

當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=……=xn且y1=y2=……yn時(shí)，等號(hào)成立。

即反序和≤亂序和≤順序和。