平方根，又叫二次方根，表示為〔±√￣〕，其中屬于非負(fù)數(shù)的平方根稱之為算術(shù)平方根（arithmetic?square?root）。

一個正數(shù)有兩個實(shí)平方根，它們互為相反數(shù)，負(fù)數(shù)沒有平方根，0的平方根是0。負(fù)數(shù)在實(shí)數(shù)系內(nèi)不能開平方。只有在復(fù)數(shù)系內(nèi)，負(fù)數(shù)才可以開平方。負(fù)數(shù)的平方根為一對共軛純虛數(shù)。

公式

如果一個非負(fù)數(shù)x的平方等于a，即那么這個非負(fù)數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根。a的算術(shù)平方根記為，讀作“根號a”，a叫做被開方數(shù)（radicand）。求一個非負(fù)數(shù)a的平方根的運(yùn)算叫做開平方。

結(jié)論：被開方數(shù)越大，對應(yīng)的算術(shù)平方根也越大（對所有正數(shù)都成立）。

一個正數(shù)如果有平方根，那么必定有兩個，它們互為相反數(shù)。顯然，如果知道了這兩個平方根的一個，那么就可以及時的根據(jù)相反數(shù)的概念得到它的另一個平方根。

負(fù)數(shù)在實(shí)數(shù)系內(nèi)不能開平方。只有在復(fù)數(shù)系內(nèi)，負(fù)數(shù)才可以開平方。負(fù)數(shù)的平方根為一對共軛純虛數(shù)。例如：-1的平方根為±i，-9的平方根為±3i，其中i為虛數(shù)單位。規(guī)定:或一般地，“√￣”僅用來表示算術(shù)平方根，即非負(fù)數(shù)的非負(fù)平方根。

規(guī)定：0的算術(shù)平方根為0。

運(yùn)算

描述

像加減乘除一樣，求平方根也有自己的豎式算法。以計(jì)算

過程1

因?yàn)槊看窝a(bǔ)數(shù)需要補(bǔ)兩位，所以被開方數(shù)不只一個數(shù)位時，要保證補(bǔ)數(shù)不能夾著小數(shù)點(diǎn)。例如三位數(shù)，必須單獨(dú)用百位進(jìn)行運(yùn)算，補(bǔ)數(shù)時補(bǔ)上十位和個位的數(shù)。

過程2

每一個過渡數(shù)都是由上一個過渡數(shù)變化而后，上一個過渡數(shù)的個位數(shù)乘以20，如果需要進(jìn)位，則往前面進(jìn)1，然后個位升十位。以此類推，而個位上補(bǔ)上新的運(yùn)算數(shù)字。簡單地講，過渡數(shù)27，是第一次商的1乘以20，把個位上的0用第二次商的7來換，過渡數(shù)343是前兩次商的17乘以20=340，其中個位0用第三次商的3來換，第三個過渡數(shù)3462是前三次商173乘以20=3460，把個位0用第四次的商2來換，依次類推。

過程3

誤差值的作用。如果要求精確到更高的小數(shù)數(shù)位，可以按規(guī)則，對誤差值繼續(xù)進(jìn)行運(yùn)算。

例子

計(jì)算√10

3.16227——–

—————————–

√10’00’00’00’00’——–

3|93第1位3

——-

61|1002*3*10+1=61第2位1

|61

——-

626|39002*31*10+6=626第3位6

|3756

——–

6322|144002*316*10+2=6322第4位2

|12644

———

63242|175600

|126484

———–

632447|4911600

|4427129

———

××××××00（如此循環(huán)下去）

所以，√10=3.16227…

再如√7

=2.645…

———————

2|7

4

————–

46|300

276

——————–

524|2400

2096

—————————–

5285|30400

26425

——————————-

5290？|397500

牛頓迭代法

上述筆算開方方法是我們大多數(shù)人上學(xué)時課本附錄給出的方法，實(shí)際中運(yùn)算中太麻煩了。我們可以采取下面辦法：

比如136161這個數(shù)字，首先我們找到一個和136161的平方根比較接近的數(shù)，任選一個，比方說300到400間的任何一個數(shù)，這里選350，作為代表。

我們先計(jì)算0.5 - 350+136161/350，結(jié)果為369.5。

然后我們再計(jì)算0.5 - 369.5+136161/369.5得到369.0003，我們發(fā)現(xiàn)369.5和369.0003相差無幾，并且3692末尾數(shù)字為1。我們有理由斷定3692=136161。

一般來說，能夠開方開的盡的，用上述方法算一兩次基本結(jié)果就出來了。再舉個例子：計(jì)算。首先我們發(fā)現(xiàn)6002<469225<7002，我們可以挑選650作為第一次計(jì)算的數(shù)。即算0.5 - 650+469225/650得到685.9。而685附近只有6852末尾數(shù)字是5，因此6852=469225。從而。

對于那些開方開不盡的數(shù)，用這種方法算兩三次精度就很可觀了，一般達(dá)到小數(shù)點(diǎn)后好幾位。

實(shí)際中這種算法也是計(jì)算機(jī)用于開方的算法。

用Ruby求平方根

（注：sqrt=squareroot平方根）

moduleMyMath

defsqrt - num,rx=1,e=1e-10#參數(shù)1，需要求平方根的目標(biāo)；參數(shù)2，迭代區(qū)間；參數(shù)3，精度

num*=1.0#目標(biāo)初始化

- num-rx*rx.abs<e?rx:sqrt - num, - num/rx+rx/2,e#計(jì)算平方根

end

6end

includeMyMath

putssqrt - 2#求2的平方根

putssqrt - 2,5,0.01#求2的平方根+迭代區(qū)間與精度。

C語言版求平方根

doubleSqrt - doublea,doublep//a是被開平方根數(shù)，p是所求精度

{

doublex=1.0;doublecheak;

do

{

x= - a/x+x/2.0;

cheak=x*x-a;

}while - - cheak>=0?cheak:-cheak>p;

returnx;

}

intmain -

{

printf - "%.4f/",Sqrt - 2.0,0.0001;

printf - "%.4f/",Sqrt - 0.09,0.0001;

return0;

}

輸出結(jié)果：

1.4142

0.3000

知識教案

算術(shù)平方根定義：

如果一個非負(fù)數(shù)x的平方等于a，那么這個非負(fù)數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根，記作。其中，a叫做被開方數(shù)。例如：因?yàn)?和-2的平方都是4，且只有2是正數(shù)，所以2就是4的算術(shù)平方根。

由于正數(shù)的平方根互為相反數(shù)，因此正數(shù)的平方根可分別記作和，可合寫為。例如5的平方根可以分別記作和，可合寫為。

0的平方根僅有一個，就是0本身。而0本身也是非負(fù)數(shù)，因此0也是0的算術(shù)平方根?？捎涀鳌?/p>

注意：算術(shù)平方根只有一個！

教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)分析

1.本節(jié)重點(diǎn)是平方根和算術(shù)平方根的概念。平方根是開方運(yùn)算的基礎(chǔ)，是引入無理數(shù)的準(zhǔn)備知識。平方根概念的正確理解有助于符號表示的理解，是正確求平方根運(yùn)算的前提，并且直接影響到二次根式的學(xué)習(xí)。算術(shù)根的教學(xué)不但是本章教學(xué)的重點(diǎn)，也是今后數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)。在后面學(xué)習(xí)的根式運(yùn)算中，歸根結(jié)底是算術(shù)根的運(yùn)算，非算術(shù)根也要轉(zhuǎn)化為算術(shù)根。

2.本節(jié)難點(diǎn)是平方根與算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系。首先這兩個概念容易混淆，而且各自的符號表示意義學(xué)生不是很容易區(qū)分，教學(xué)中要抓住算術(shù)平方根式平方根中正的那個，講清各自符號的意義，區(qū)分兩種表示的不同。

3.本節(jié)主要內(nèi)容是平方根和算術(shù)平方根，注意數(shù)字要簡單，關(guān)鍵讓學(xué)生理解概念。另外在文字?jǐn)⑹鰰r注意語言的嚴(yán)謹(jǐn)規(guī)范。

求平方根教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)

1.教學(xué)重點(diǎn)是用計(jì)算器求一個正數(shù)的平方根的程序，無論實(shí)際生活，還是其他學(xué)科都會經(jīng)常用到計(jì)算器求一個數(shù)的平方根，這也是學(xué)生的基本技能之一。

2.教學(xué)難點(diǎn)準(zhǔn)確用計(jì)算器求一個正數(shù)的平方根，由于開平方運(yùn)算要用到第二功能鍵，學(xué)生容易漏掉此步操作，在教學(xué)過程中要著重說明此鍵的作用功能教法建議。

3.在給學(xué)生講解如何利用計(jì)算器求一個數(shù)的平方根時，應(yīng)掌握方法。